%% Aufgabenblatt 2
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% *Numerik 2, Wintersemester 2017, Hans W Borchers* 
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% PDF Version: <http://www.mathworks.com MathWorks>

%% Aufgabe 2.1 (Einfache DGL)
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% Loese die folgende Differenzialgleichung symbolisch und numerisch im
% Intervall [0, pi] mit der Anfangswertbedingung y(0) = 1.
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%   y' + y = sin(x)
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% Zeichne in den von _ode45_ erstellten Plot die symbolische Loesung als 
% rote Kurve ein. Und zeichne zusaetzlich das Vektorfeld ein.
% Wie gross ist der maximale Fehler in den von _ode45_ berechneten Punkten
% der Kurve?


%% Aufgabe 2.2 (Traktrix)
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% Eine Traktrix (oder Schleppkurve) ist die Kurve, entlang der sich ein 
% Objekt unter dem Einfluss der Reibung bewegt, dass entlang einer Linie 
% an einem Seil, einer Kette gezogen wird.
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% Ein schwerer Stein/Findling befindet sich in an der Stelle (0,10) (in [m]), 
% ein Traktor in (1,0). Der Stein wird vom dem Traktor durch ein Seil der 
% Laenge L = sqrt(101) befestigt, dann faehrt der Traktor auf der Strasse 
% (x-Achse) etwa 60 m weit. Wie sieht die Kurve aus, entlang der der Stein 
% gezogen wird. 
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% Die Tangente der gesuchten Kurve zeigt immer in Richtung des Traktors, 
% die Laenge der Tangente bis zur x-Achse betraegt immer L. Daraus folgt, 
% dass die Kurve die folgende Differenzialgleichung erfiellt:
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%   y' = -y(x) / sqrt(L^2 - y(x)^2)
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% Zeichne den Weg, den der Stein gezogen wird, als gestrichelte blaue Linie 
% mit einer Linienbreite von 2. Wie nahe ist das Objekt an der Strasse, 
% nachdem es 60 Meter geschleppt wurde?


%% Aufgabe 2.3 (Lotka-Volterra)
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% In einem geschlossenen Habitat gibt es Populationen von Beutetieren x und 
% Raeubern y, die sich ueber die Zeit entwickeln nach folgendem Modell:
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%  dx/dt =  a x(t) - b x(t) y(t)
%  dy/dt = -c y(t) + d x(t) y(t)
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% mit der Konstanten a = 2.0,b = 0.01,c = 1.0,d = 0.001
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% (1) Berechne des Modell als DGL mit den Anfangsbedingungen h(0) = 300, 
% f(0) = 150 . 
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% (2) Erstellen Sie ein Phasendiagramm dieses Models, d.h. tragen Sie in 
% einem Plot die Anzahl der Beutetiere gegen die Anzahl der Rauuber auf. 
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% (3) Wenn sich in dem Habitat maximal x0 = 2000 Beutetiere (von Pflanzen) 
% ernaehren koennen, aendert sich die erste Gleichung zu
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%   dx/dt = a (1 - x(t)/2000) x(t) - b x(t) y(t)
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% Loesen Sie das System der DGLen fuer diesen Fall. 


%% Aufgabe 2.4 (Radioaktiver Zerfall)
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% Eine Probe enthalte 10 g eines radioaktiven Materials A, welches mit 
% einer Halbwertszeit von 10 Stunden in ein anderes radioaktives Element B 
% zerfaellt. 
% B hat eine Halbwertszeit von zweieinhalb Tagen. Zum Zeitpunkt 0 gab es in 
% der Probe nur das Elementes A.
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% Ist H die Halbwertszeit eines radioaktiven Elementes A, dann gilt:
% |A'(t) = -log(2) / H  A(t)|. (Warum?)
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% Damit gilt es folgendes System von DGLen zu loesen:
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%     a = 10; b = 60
%     dA/dt = -log(2)/a A(t)
%     dB/dt = -log(2)/b B(t) + log(2)/a A(t)
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% # Wann ist die Menge des Stoffes B in der Probe am groessten?
% # Zum Zeitpunkt einer Messung gibt es zehn Mal so viele B-Atome in der 
%   Probe wie A-Atome. Wie viel Zeit ist seit Beginn des Experimentes 
%   vergangen?


%% Aufgabe 2.5 (Chemischer Reaktor)
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% In einem Reaktor befinden sich drei chemische Substanzen mit den 
% Anfangskonzentrationen 0.6, 0.2 und 0.2. 
% Der Chemie-Ingenieur sagt Ihnen, dass die Konzentrationen der Stoffe 
% in Gegenwart der anderen Stoffe sich nach folgenden Regeln ver?ndern:
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%       c1' = -k1 c1 + k3 c3 
%       c2' =  k1 c1 - k2 c2
%       c3' =  k2 c2 - k3 c3
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% Die Konstanten gibt er an zu k1 = 0.3, k2 = 0.2, und k3 = 0.5. 
% Bestimmen Sie die Konzentrationen der drei Substanzen nach einer 
% geeigneten Reaktionszeit.


%% Aufgabe 2.6 (Fallender Baseball)
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% Ein Baseball falle aus einer Hoehe von 20 Metern auf den Boden.
% Entsprechend den Fallgesetzen gilt f?r die Hoehe y ?ber dem Boden
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%       y'' = c y'^2 - g
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% mit der Erdbeschleunigung g = 9.81 und einem fuer einen Baseball typischen
% Luftwiderstandsbeiwert c = 0.006 .
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% Definiere zwei neue Funktionen y1(t) = y(t) und y2(t) = y?(t) und schreibe 
% die obige Gleichung als ein System von DGLen:
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%       y1' = y2
%       y2' = c y2^2 - g
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% * Loese dieses Differenzialgleichungssystem. Nach wieviel Sekunden 
%   genau trifft der Baseball am Boden auf und mit welcher Geschwindigkeit?
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% * Nach wieviel Sekunden wuerde er auftreffen, wenn der Luftwiderstand 
%   nicht da waere. (Theoretisch zu loesen, nicht numerisch.)

