%% Aufgabenblatt DE3
%  2017-11-13

%% Aufgabe 31
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% Ein idealisiertes physikalisches Pendel schwingt unter den Einfluss der 
% Schwerkraft entsprechend der folgenden DGL f?r die Auslenkung z (im Bogenmass)
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%   z''(t) = - g / L * sin(z(t))
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% mit L der Laenge des Pendels und g = 9.81 m/s^2 der Erdbeschleunigung.
% Setzen Sie z_1 = z, z_2 = z' und loesen Sie die DGL f?r ein Pendel von
% einem Meter Laenge und der maximalen Auslenkung von 45 Grad.
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% Loesen Sie entsprechend die vereinfachte Pendelgleichung f?r kleine Auslenkungen
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%   z''(t) = - g / L * z(t)
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% und zeichnen Sie in einem Plot nur die Auslenkungen der beiden Pendelbewegungen 
% zusammen auf.


%% Aufgabe 3.2: Van der Pol Gleichung
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% Loesen Sie die klassische van der Pol Gleichung eines Oszillators mit folgenden 
% Parametern und Anfangsbedingungen ueber einem geeigneten Zeitraum.
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%   y'' - mu (1 - y^2) y' + y = 0
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% (a) mu = 0.4, y(0) = 0.1, y'(0) = 0
% (b) mu = 2.0, y(0) = 1.0, y'(0) = 1
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% Plotten Sie im Fall (b) auch noch y' gegen y (das Zustandsdiagramm).


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% Loesung (a)


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% Loesung (b)


%% Aufgabe 3.3
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% Der Wurf eines Baseballs, abgeworfen unter einem Winkel von 40 Grad und
% mit einer Geschwindigkeit von 35 m/s, folgt in etwa den DGLen
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%   x'' = -r  v x'(t)
%   y'' = -r  v x'(t) - g
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% mit der Erdbeschleunigung $g = 9,81$ [m/s$^2$] und dem Luftwiderstandswert 
% r = 0.002. Die Geschwindigkeit ist offenbar v = sqrt(x'^2 + y'^2) .
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% Mit den Funktionen  y11 = x, y2 = x', y3 = y, y4 = y'  entsteht daraus ein 
% neues System von DGLen:
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%   y1' = y2
%   y2' = -r  v  y2
%   y3' = y4
%   y_4' = -r v y4 - g
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% (1) Bestimme die Anfangsbedingungen f?r (y1, y2, y3, y4) und loese die DGL.
% (2) Veranschauliche den Weg des Baseballs ?ber dem Spielfeld. (Plotte $y1, y3$.)
% (3) Wann genau und in welcher Entfernung trifft der Baseball wieder auf dem Boden auf?


%% Aufgabe 3.4 Roboterarm
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% Die folgende Differenzialgleichung beschreibe die Winkelposition theta 
% eines mechanischen Roboterarmes:
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%   theta'' = a (b - theta) - theta theta'^2 / (1 + theta^2)
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% mit a = 100 s^-2 und $b = 15$. 
% Die Anfangsbedingungen sind  theta(0) = 2 pi  und  theta'(0) = 0 .
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% Stelle die L?sung im Intervall [0, 1] graphisch dar und bestimme theta 
% und theta' zum Zeitpunkt $t = 0.5$ s exakt. Die Geschwindigkeit  istin 
% [km/h] angeben.


%% Aufgabe 3.5  Erzwungene Schwingung
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% Ein Pendel ist frei beweglich an einem horizontalen Stab aufgehaengt.
% Das Pendel ist zum Zeitpunkt t0 = 0 in Ruhe, wenn eine oszillierende
% Bewegung y(t) = Y sin(omega t) auf die Aufhaengung einwirkt. Der
% Winkel z der Auslenkung folgt dann einer Differenzialgleichung
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%  z'' = - g/L * sin(z) + omega^2/L Y \cos(z) \sin(\omega \, t)
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% mit g = 9.81 m/s^2, L = 1.0 m, Y = 0.25 m und omega = 2.5 rad/s.

% Loese die Differenzialgleichung und stelle die Auslenkung des Pendels 
% ueber einen Zeitraum von 60 Sekunden graphisch dar, 
% Graphik mit Beschriftung, Grid und Legende.


%% Aufgabe 3.6  PISA Test
% Ein Baseball falle am Turm von Pisa aus einer Hoehe von 50 m in
% genau 4 sec auf den Boden. Wie gross ist sein Luftwiderstandswert $r$,
% wenn die folgende Differenzialgleichung den freien Fall beschreibt
% (y(t) die Hoehe ueber dem Boden):
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%   y'' = - g + r y'^2 
%
% Bestimme r auf etwa drei Nachkommastellen.

